Question

已知椭圆的中心在原点O，焦点在x轴上，过右焦点F的直线与右准线交于点D，与椭圆交于A、B两点，右准线与x轴交于C点，若|

FC

|，|

CD

|，|

FD

|成等差数列，且公差等于短轴长的

1

6

．
（1）求椭圆的离心率； 
（2）若△OAB的面积为20

2

，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）设椭圆方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），|

FC

|=m-d，|

CD

|=m，|

FD

|=m+d，则：（m-d）²+m²=（m+d）²，故d=

1

4

m，由d=

1

6

×2b=

b

3

，知

1

4

m=

b

3

，由此能求出椭圆的离心率．
（2）直线AB的斜率k=tan∠DFC=

|CD|

|FC|

=

4

3

，其方程为：y=

4

3

(x-c)，由b=c=

2

2

a和

y= 4 3 (x-b) x2 2b2 + y2 b2 =1

，得：41y²+24by-16b²=0．由此能够求出该椭圆的方程．

解答：解：（1）设椭圆方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
|

FC

|=m-d，|

CD

|=m，|

FD

|=m+d，
则：（m-d）²+m²=（m+d）²，∴d=

1

4

m，
又d=

1

6

×2b=

b

3

，∴

1

4

m=

b

3

，
即m=

4

3

b，从而|

FC

|=m-d=

4

3

b-

1

3

b=b，
且|

FC

|=

a2

c

-c，故

a2

c

-c=b⇒b=c=

2

2

a，
∴椭圆的离心率为e=

c

a

=

2

2

．
（2）直线AB的斜率k=tan∠DFC=

|CD|

|FC|

=

4

3

，
其方程为：y=

4

3

(x-c)，
由（1）b=c=

2

2

a，
则由

y= 4 3 (x-b) x2 2b2 + y2 b2 =1

，
消x得：41y²+24by-16b²=0
设A(x1，

y

1

)，B(x2，

y

2

)，
则：y1+y2=-

24b

41

，y1y2=-

16b2

41

，
有S_△OAB=S_△OFA+S_△OFB
=

1

2

c

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

c

(- 24b 41 )2+4• 16b2 41

，
又△OAB的面积为20

2

，
∴

20 2

41

b2=20

2

，解得b²=41，a²=2b²=82
∴该椭圆的方程为：

x2

82

+

y2

41

=1．

点评：本题考查椭圆的离心率，求椭圆的方程．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．