Question

（2012•河西区一模）设函数f（x）=（1+x）²+ln（1+x）²．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[

1

e

-1，e-1]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）=x²+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）确定函数定义域，求导函数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间；
（2）确定函数在[

1

e

-1，e-1]上的单调性，从而可得函数的最大值，不等式，即可求得实数m的取值范围；
（3）方程f（x）=x²+x+a，即x-a+1-ln（1+x）²=0，记g（x）=x-a+1-ln（1+x）²．求导函数，确定函数在区间[0，2]上的单调性，为使f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，只须g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一个实根，从而可建立不等式，由此可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）函数定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞），
因为f′(x)=2[(x+1)-

1

x+1

]=

2x(x+2)

x+1

，
由f′（x）＞0得-2＜x＜-1或x＞0，由f′（x）＜0得x＜-2或-1＜x＜0．
∴函数的递增区间是（-2，-1），（0，+∞），递减区间是（-∞，-2），（-1，0）．
（2）由f′（x）=

2x(x+2)

x+1

=0得x=0或x=-2．由（1）知，f（x）在[

1

e

-1，0]上递减，在[0，e-1]上递增．
又f（

1

e

-1）=

1

e2

+2，f（e-1）=e²-2，
∴e2-2-

1

e2

-2=

(e2-2)2-5

e2

＞0
∴e²-2＞

1

e2

+2．所以x∈[

1

e

-1，e-1]时，[f（x）]_max=e²-2．故m＞e²-2时，不等式f（x）＜m恒成立．
（3）方程f（x）=x²+x+a，即x-a+1-ln（1+x）²=0，记g（x）=x-a+1-ln（1+x）²．
所以g′（x）=1-

2

1+x

=

x-1

x+1

．
由g′（x）＞0，得x＜-1或x＞1，由g′（x）＜0，得-1＜x＜1．
所以g（x）在[0，1]上递减，在[1，2]上递增，
为使f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，只须g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一个实根，于是有

g(0)≥0 g(1)＜0 g(2)≥0

，∴

-a+1≥0 1-a+1-2ln2＜0 2-a+1-2ln3≥0

，
∴2-2ln2＜a≤3-2ln3．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查函数与方程思想，属于中档题．