Question

设x∈R，函数f（x）=cosx+sinx，g（x）=cosx-sinx．
（1）求函数F（x）=f（x）•g（x）+f²（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若f（x）=2g（x），求

1+sin2x

cos2x-sinxcosx

的值．

Answer 1

分析：（1）根据题意利用二倍角的三角函数公式与辅助角公式，化简得F（x）=

2

sin(2x+

π

4

)+1．再由三角函数的周期公式与正弦函数的单调区间公式加以计算，可得函数F（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）根据f（x）=2g（x）算出3sinx=cosx，从而得出tanx=

1

3

．再利用同角三角函数的基本关系进行“弦化切”，可得所求分式的值．

解答：解：（1）F（x）=（cosx+sinx）（cosx-sinx）+（cosx+sinx）²
=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx=sin2x+cos2x+1=

2

sin(2x+

π

4

)+1，
∴函数F（x）的最小正周期为π．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z），
可得函数F（x）的单调递增区间是[kπ-

3π

8

 ， kπ+

π

8

]（k∈Z）． 
（2）∵f（x）=2g（x），∴cosx+sinx=2（cosx-sinx），
解得3sinx=cosx，所以tanx=

sinx

cosx

=

1

3

．
因此，

1+sin2x

cos2x-sinxcosx

=

cos2x+2sin2x

cos2x-sinxcosx

=

1+2tan2x

1-tanx

=

11

6

．

点评：本题已知f（x）、g（x）的表达式，求与之相关的函数F（x）的最小正周期和单调递增区间．着重考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换、同角三角函数的基本关系等知识，属于中档题．