Question

【题目】已知三点O（0，0），A（﹣2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足| + |= （ + ）+2．
（1）求曲线C的方程；
（2）动点Q（x0 ， y0）（﹣2＜x0＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为直线l：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都相交，交点分别为D，E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值．若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 =（﹣2﹣x，1﹣y）， =（2﹣x，1﹣y）可得 + =（﹣2x，2﹣2y），

∴| + |= ， （ + ）+2=（x，y）（0，2）+2=2y+2．

由题意可得 =2y+2，化简可得 x2=4y．

（2）解：假设存在点P（0，t）（t＜0），满足条件，则直线PA的方程是y= ，直线PB的方程是y=

∵﹣2＜x0＜2，∴

①当﹣1＜t＜0时， ，存在x0∈（﹣2，2），使得

∴l∥PA，∴当﹣1＜t＜0时，不符合题意；

②当t≤﹣1时， ， ，

∴l与直线PA，PB一定相交，分别联立方程组

， ，解得D，E的横坐标分别是 ，

∴

∵|FP|=﹣

∴ =

∵

∴ = ×

∵x0∈（﹣2，2），△QAB与△PDE的面积之比是常数

∴ ，解得t=﹣1，

∴△QAB与△PDE的面积之比是2．

【解析】（1）用坐标表示 ， ，从而可得 + ，可求| + |，利用向量的数量积，结合M（x，y）满足| + |= （ + ）+2，可得曲线C的方程；（2）假设存在点P（0，t）（t＜0），满足条件，则直线PA的方程是y= ，直线PB的方程是y= 分类讨论：①当﹣1＜t＜0时，l∥PA，不符合题意；②当t≤﹣1时， ， ，分别联立方程组，解得D，E的横坐标，进而可得△QAB与△PDE的面积之比，利用其为常数，即可求得结论．