Question

5．已知集合$A=\{x\left|{\frac{x-2}{x-7}＜0\}}\right.$，B={x|x²-12x+20＜0}，C={x|5-a＜x＜a}
（1）求集合A，B；   
（2）求A∪B，（∁_RA）∩B；   
（3）若C⊆B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别解不等式即可得到集合A，B；
（2）找出A与B的并集即可根据全集R求出A的补集，找出A补集与B的交集即可；
（3）由C为B的子集，确定出a的范围即可．

解答 解：（1）$\frac{x-2}{x-7}$＜0，等价于（x-2）（x-7）＜0，解得2＜x＜7，∴A=（2，7），
x²-12x+20＜0，等价于（x-2）（x-10）＜0，解得2＜x＜10，∴B=（2，10），
（2）A∪B=（2，10），（∁_RA）=（-∞，2]∪[7，+∞），
∴（∁_RA）∩B=[7，10）．
（3）当C=∅时，即5-a≥a，即a≤$\frac{5}{2}$，满足题意，
当C≠∅时，则$\left\{\begin{array}{l}{5-a＜a}\\{5-a≥2}\\{a≤10}\end{array}\right.$，解得$\frac{5}{2}$＜a≤3，
综上，a的取值范围为（-∞，3]

点评 此题考查了交、并、补集的混合运算，以及集合的包含关系判断及其应用，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．