Question

定义：设函数f（x）在（a，b）内可导，若f′（x）为（a，b）内的增函数，则称f（x）为（a，b）内的下凸函数．
（Ⅰ）已知f（x）=e^x-ax³+x在（0，+∞）内为下凸函数，试求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设f（x）为（a，b）内的下凸函数，求证：对于任意正数λ₁，λ₂，λ₁+λ₂=1，
不等式f（λ₁x₁+λ₂x₂）≤λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）对于任意的x₁，x₂∈（a，b）恒成立．

Answer 1

分析：（I）函数f（x）在（0，+∞）内为下凸函数等价于x∈（0，+∞）时，f′（x）为增函数，则x∈（0，+∞）时，[f′（x）]^′≥0恒成立，将a分离出来，研究不等式另一侧的最小值即可求出a的范围．
（II）利用上凸函数的定义“f（x）是定义在闭区间[a，b]上的函数，若任意x，y∈[a，b]和任意λ∈（0，1），有f（λx+（1-λ）y）≤λf（x）+（1-λ）f（y）成立”进行证明即可．

解答：解：（I）f（x）=e^x-ax³+x在（0，+∞）内为下凸函数等价于x∈（0，+∞）时，f′（x）=e^x-3ax²+1为增函数；
所以x∈（0，+∞）时，[f′（x）]^′=e^x-6ax≥0恒成立，即a≤

ex

6x

恒成立
设g(x)=

ex

6x

，g′(x)=

ex(x-1)

6x2

，
令g′（x）=0，得x=1，且当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0．
所以在x=1时，g（x）取得最小值为

e

6

，所以a≤

e

6

（II）证明：根据上凸函数的定义“f（x）是定义在闭区间[a，b]上的函数，若任意x，y∈[a，b]和任意λ∈（0，1），有f（λx+（1-λ）y）≤λf（x）+（1-λ）f（y）成立”
取x=x₁，y=x₂，λ=λ₁，1-λ=1-λ₁=λ₂，而任意正数λ₁，λ₂，λ₁+λ₂=1，x₁、x₂∈（a，b）
得不等式f（λ₁x₁+λ₂x₂）≤λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）对于任意的x₁，x₂∈（a，b）恒成立．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用上凸函数的定义证明不等式，属于难题．