Question

已知正项数列{a_n}满足a₁=1，且a_n+1=

an

2nan+1

（n∈N^*）
（1）求数列的通项a_n；
（2）求

lim

n→∞

n

k=1

2k-1

k2+k

a_k；
（3）求证：2≤

(2n-1)(1+n)n

nn

a_n＜3．

Answer 1

分析：（1）将等式两边取倒数得

1

an+1

-

1

an

=2n，再进行叠加可得an=

1

2n-1

；
（2）将第n项裂项求和得1-

1

n+1

，再求极限；
（3）中间的式子可化为(1+

1

n

)n=1+

C

n 1

•

1

n

+

C

n 2

•(

1

n

)2++

C

n n

(

1

n

)n≥2，对于右边的不等式，利用放缩法可证．

解答：解：（1）

1

an+1

-

1

an

=2n，叠加得：an=

1

2n-1

（2）第n项=

2n-1

n2+n

•

1

2n-1

=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

∴和=1-

1

n+1

∴极限=1．
（3）中间的式子=(1+

1

n

)n=1+

C

1 n

•

1

n

+

C

2 n

•(

1

n

)2++

C

n n

(

1

n

)n≥2．
又1+

C

1 n

•

1

n

+

C

2 n

•(

1

n

)2++

C

n n

(

1

n

)n
=1+1+

n(n-1)

2!n2

+

n(n-1)(n-2)

3!n3

++

n(n-1)(n-2)1

n!nn

≤1+1+

1

2!

+

1

3!

++

1

n!

＜1+1+

1

2

+

1

22

++

1

2n-1

=3-

1

2n-1

＜3

点评：本题主要考查数列通项的求解，考查裂项求和，二项式定理的运用及利用放缩法证明不等式，综合性强．