Question

已知一个圆锥的底面半径为R，高为h，在圆锥内部有一个高为x的内接圆柱．
（1）画出圆锥及其内接圆柱的轴截面；
（2）求圆柱的侧面积；               
（3）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？

Answer 1

分析：（1）由题设条件能画出圆锥及其内接圆柱的轴截面．
（2）设所求的圆柱的底面半径为r．它的侧面积S=2πrx，由

r

R

=

h-x

h

，能求出圆柱的侧面积．
（3）由圆柱的侧面积S是关于x的二次函数S=-

2πR

h

x2+2πRx，能推导出当圆柱的高是已知圆锥的一半时，它的侧面积最大．

解答：解：（1）圆锥及其内接圆柱的轴截面如图所示．
（2）设所求的圆柱的底面半径为r．它的侧面积S=2πrx，
∵

r

R

=

h-x

h

，∴r=R-

R

h

•x，
∴S=2πRx-

2πR

h

x2．
（3）由（2）知圆柱的侧面积S是关于x的二次函数：
S=-

2πR

h

x2+2πRx，
∵S的表达式中x²的系数小于0，
∴这个二次函数有最大值，
这时圆柱的高x=-

2πR

-2• 2πR h

=

h

2

，
即当圆柱的高是已知圆锥的一半时，它的侧面积最大．

点评：本题考查圆锥及其内接圆柱的轴截面的画法，考查圆柱的侧面积的求法，考查圆柱的侧面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．