Question

已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
（1）求实数a的值；
（2）证明：当x＞1时，恒成立．

Answer 1

（1）解：求导数可得f′（x）=a+lnx+1
∵函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3
∴f′（e）=3，∴a+lne+1=3，∴a=1，-----------------------（3分）
（2）证明：由（1）知，f（x）=x+xlnx，
令，则，-----------------------（5分）
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），则，
所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．…（7分）
因为h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x₀，且满足x₀∈（3，4）．
当1＜x＜x₀时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，
当x＞x₀时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，…（9分）
所以函数在（1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增．
所以．
因为x₀＞3，所以x＞1时，恒成立 …（12分）
分析：（1）求导数，利用函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，可得f′（e）=3，从而可求实数a的值；
（2）构造，求导函数可得，令h（x）=x-lnx-2（x＞1），确定h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x₀，且满足x₀∈（3，4），进而可得在（1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，求出最小值，即可得证．
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题时构造函数是关键．