Question

已知直线与椭圆相交于两点，点是线段上的一点，且点在直线上.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若椭圆的焦点关于直线的对称点在单位圆上，求椭圆的方程.

Answer 1

(1);(2)

解析试题分析：(1)设、，由题中的直线方程与椭圆方程联立消去，得，由韦达定理得，进而得到，因此得的中点，且点在直线上建立关系得，进而得离心率的值；
（2）由（1）的结论，设椭圆的一个焦点关于直线的对称点为，且被直线垂直且平分建立方程组，解之得且，结合点在单位圆上，得到关于的方程，并解得，由此即可得到椭圆方程.
（1）由知M是AB的中点，
设A、B两点的坐标分别为
由
，
∴M点的坐标为
又M点的直线l上：
, 
（2）由（1）知，根据对称性，不妨设椭圆的右焦点关于直线l：上的对称点为，
则有              
由已知，
∴所求的椭圆的方程为                         
考点：椭圆的标准方程及简单的几何性质；两点关于一条直线对称；直线与椭圆的位置关系.