Question

3．在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DBA=60°，∠SAD=30°，AD=SD=2$\sqrt{3}$，BA=BS=4．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面SAD；
（Ⅱ）求二面角A-SB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）用余弦定理求出BD=2，从而利用勾股定理得BD⊥AD，BD⊥SD，由此能证明BD⊥平面SAD．
（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-SB-C的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵∠SAD=30°，AD=SD=2$\sqrt{3}$，∴∠SDA=120°，
SA=$\sqrt{12+12-2×2\sqrt{3}×2\sqrt{3}×120°}$=6，
∵底面ABCD为平行四边形，∠DBA=60°，BA=BS=4．
∴cos60°=$\frac{B{D}^{2}+16-12}{2BD•4}$，解得BD=2，
∴AD²+BD²=AB²，∴BD⊥AD，
∵SD²+BD²=SB²，∴BD⊥SD，
∵AD∩SD=D，∴BD⊥平面SAD．
解：（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，
过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
A（2$\sqrt{3}$，0，0），B（0，2，0），C（-2$\sqrt{3}$，2，0），S（-$\sqrt{3}$，0，3），
$\overrightarrow{SA}$=（3$\sqrt{3}$，0，-3），$\overrightarrow{SB}$=（$\sqrt{3}，2，-3$），$\overrightarrow{SC}$=（-$\sqrt{3}$，2，-3），
设平面ABS的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SA}=3\sqrt{3}x-3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SB}=\sqrt{3}x+2y-3z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}，\sqrt{3}$），
设平面BCS的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{SB}=\sqrt{3}a+2b-3c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{SC}=-\sqrt{3}a+2b-3c=0}\end{array}\right.$，取b=3，得$\overrightarrow{m}$=（0，3，2），
设二面角A-SB-C的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{7}•\sqrt{13}}$=$\frac{5\sqrt{273}}{91}$．
∴二面角A-SB-C的余弦值为$\frac{5\sqrt{273}}{91}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力、空间思维能力、运算求解能力，考查数形结合思想、转化化归思想，考查应用意识，属于中档题．