Question

14．已知数列{a_n}：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{4}$+$\frac{2}{4}$+$\frac{3}{4}$，…，$\frac{1}{10}$+$\frac{2}{10}$+$\frac{3}{10}$+…+$\frac{9}{10}$，…，若b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，那么数列{b_n}的前n项和S_n为$\frac{4n}{n+1}$．

Answer 1

分析 确定b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{4}{n（n+1）}$=4（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），叠加可得结论．

解答 解：a_n=$\frac{1+2+3+…+n}{n+1}$=$\frac{n}{2}$，∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{4}{n（n+1）}$=4（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴S_n=4（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{4n}{n+1}$．
故答案为：$\frac{4n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项与求和，考查裂项方法的运用，属于中档题．