Question

已知定义域为（O，+∞）的单调函数f（x），若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）+log

1

2

x]=3”，则方程f（x）=2+

x

的解的个数是（　　）

A．3

B．2

C．1

D．O

Answer 1

∵定义域为（O，+∞）的单调函数f（x），
满足f[f（x）+log

1

2

x]=3，f（x）=2+

x

，
∴必存在唯一的正实数a，
满足f(x)+log

1

2

x=a，f（a）=3，①
∴f(a)+log

1

2

a=a，②
由①②得：3+log

1

2

a=a，
log

1

2

a=a-3，
a=(

1

2

)a-3，左增，右减，有唯一解a=2，
故f(x)+log

1

2

x=a=2，
f（x）=2-log

1

2

x，
由2-log

1

2

x=2+

x

，得log2x=

x

，
∴x=2

x

，
令t=

x

＞0，则t²=2^t，
此方程只有两个正根t=2，或t=4，
∴x=4，或x=16．
故方程f（x）=2+

x

的解的个数是2．
故选B．