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设函数f(x)=
1
b
x,              x≤0
(x2-2ax)ex, x>0
在x=1处取得极值(其中e为自然对数的底数).
(1)求实数a的值;
(2)若函数y=f(x)-m有两个零点,求实数m的取值范围;
(3)设g(x)=
lnx
f(-x)
+b
,若?x1∈(0,
3
2
]
?x2∈[
1
e
,e]
,使得f(x1)≥g(x2),求实数b的取值范围.
分析:(1)对函数f(x)进行求导,求出f′(x),根据极值点满足f′(x)=0,列出方程,求解即可得到实数a的值;
(2)根据函数的单调性求出f(x)的值域,要使函数y=f(x)-m有两个零点,则函数y=f(x)的图象与直线y=m有两个不同的交点,分b>0和b<0两种情况分别求出实数m的取值范围,最后取并集即可得到实数m的取值范围;
(3)“?x1∈(0,
3
2
]
?x2∈[
1
e
,e]
,使得f(x1)≥g(x2)”等价于“f(x1min≥g(x2min”,由(2)可求出f(x1)在x1∈(0,
3
2
]
上的最小值,然后利用分类讨论b求出g(x2)在x2∈[
1
e
,e]
上最小值,即可求出实数b的取值范围.
解答:解(1)∵函数f(x)=
1
b
x,              x≤0
(x2-2ax)ex, x>0

∴x>0时,f(x)=(x2-2ax )ex
∴f′(x)=(x2-2ax )ex+(2x-2a)ex=[x2+2(1-a)x-2a]ex
∵函数f(x)在x=1处取得极值,
∴f′(1)=0,即[1+2(1-a)×1-2a]•e1=0,
∴a=
3
4

(2)由(1)可知,a=
3
4

∴当x>0时,f(x)=(x2-
3
2
x)ex
∴f′(x)=
1
2
ex(x-1)(2x+3),
∵当0<x<1时,f′(x)<0,当x>1时,f′(x)>0,
∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
∴当x=1时,f(x)取得极小值f(1)=-
e
2

∴f(x)∈[-
e
2
,+∞),
∵函数y=f(x)-m有两个零点,
∴函数y=f(x)的图象与直线y=m有两个不同的交点,
①若b>0时,f(x)在(-∞,0]上单调递增,
∴当m=0或m=-
e
2
时,y=f(x)-m有两个零点;
②若b<0时,f(x)在(-∞,0]上单调递减,
∴当m>-
e
2
时,y=f(x)-m有两个零点.
综合①②可得,当b>0时,实数m的取值范围为m=0或m=-
e
2
,当b<0时,实数m的取值范围为m>-
e
2

(3)由(2)可知f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,
3
2
)上单调递增,
∴当x=1时,f(x)取得最小值f(1)=-
e
2
,即f(x1)在x1∈(0,
3
2
]
上的最小值-
e
2

∵函数g(x)=
lnx
f(-x)
+b
的定义域为(0,+∞),
∴g(x)=
-blnx
x
+b
=b(1-
1nx
x
),则g′(x)=
b(lnx-1)
x2
,x∈[
1
e
,e]

由题意可知b≠0,
①当b>0时,g′(x)<0,即g(x2)在x2∈[
1
e
,e]
上单调递减,最小值为g(e)=b(1-
1
e
),
而“?x1∈(0,
3
2
]
?x2∈[
1
e
,e]
,使得f(x1)≥g(x2)”等价于“f(x1min≥g(x2min”,
则-
e
2
≥b(1-
1
e
),且b>0,无解,
②当b<0时,g′(x)>0,即g(x2)在x2∈[
1
e
,e]
上单调递增,最小值为g(
1
e
)=b(1+e),
而“?x1∈(0,
3
2
]
?x2∈[
1
e
,e]
,使得f(x1)≥g(x2)”等价于“f(x1min≥g(x2min”,
则-
e
2
≥b(1+e),且b<0,解得b≤-
e
2(1+e)

综上所述:实数b的取值范围是b≤-
e
2(1+e)
点评:本题考查函数在某点存在极值的条件,函数的零点,利用导数求函数在闭区间上的最值.解题时要注意运用极值点必定是导函数对应方程的根,而导函数对应方程的根不一定是极值点.利用导数研究函数在闭区间上的最值,一般是求出导函数对应方程的根,然后求出跟对应的函数值,区间端点的函数值,然后比较大小即可得到函数在闭区间上的最值.属于中档题.
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?
y
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,x∈{1,5,7,13,19},则
.
y
=58.5;
③设函数f(x)=x+ln(x+
1+x2
)
,则对于任意实数a和b,a+b<0是f(a)+f(b))<0的充要条件;
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