Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx+cos2x+1．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）求函数在[-

π

6

，

π

6

]上的最小值，并写出取最小值时相应的x值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性,三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）运用二倍角的正弦公式，两角和的正弦公式，即可得到f（x），再由正弦函数的单调增区间，解不等式即可得到；
（Ⅱ）由x的范围，求得2x+

π

6

的范围，再由正弦函数的性质，即可得到最小值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2

3

sinxcosx+cos2x+1=

3

sin2x+cos2x+1
=1+2sin（2x+

π

6

），令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，
解得，kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
所以函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．    
（Ⅱ）因为-

π

6

≤x≤

π

6

，则-

π

6

≤2x+

π

6

≤

π

2

，
即有-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
即有0≤1+2sin（2x+

π

6

）≤3，
所以当2x+

π

6

=-

π

6

，即x=-

π

6

时，函数f（x）取得最小值0．

点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查正弦函数的单调性和值域的运用，考查运算能力，属于中档题．