如图,已知四棱锥中,底面为菱形,平面,,分别是的中点.
(1)证明:平面;
(2)取,若为上的动点,与平面所成最大角的正切值为,求二面角的余弦值。
(1)详见解析;(2)
【解析】
试题分析:(1)用线面垂直证,用等腰三角形中线即为高线证即,根据线面垂直得判定定理即可得证。(2)由(1)知平面,则为与平面所成的角。因为为定值,所以最短即最短时角的正弦值最大。故此时。故此可推导出的值,过作于,则平面,过作于,连接,则为二面角的平面角。也可采用空间向量法。
试题解析:【解析】
方法一:(1)证明:由四边形为菱形,,可得为正三角形,因为为的中点,
所以 1分
又,因此 2分
因为平面,平面,
所以 3分
而平面,平面,
所以平面 . 5分
(2)为上任意一点,连接由(1)知平面,则为与平面所成的角 6分
在中,,
所以当最短时,即当时,最大 . 7分
此时, 因此
又,所以,
所以 8分
因为平面,平面,
所以平面平面
过作于,则平面,
过作于,连接,则为二面角的平面角, 10分
在中,
又是的中点,在中,
又 11分
在中,
即所求二面角的余弦值为。 13分
第二问:方法二
(2)由(1)可知两两垂直,
以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系。
设,则
(其中) 6分
面的法向量为
与平面所成最大角的正切值为 7分
的最大值为,
即在的最小值为,
函数对称轴,
所以,计算可得 9分
所以
设平面的一个法向量为,则
因此,取,则 11分
为平面的一个法向量. 12分
所以
所以,所求二面角的余弦值为 13分
考点:1线面垂直;2线面角;3二面角。
科目:高中数学 来源:2015届江西赣州四所重点中学高二上学期期末联考理数学试卷(解析版) 题型:填空题
某学校共有师生2400人,现用分层抽样方法,从所有师生中抽取一个容量为160的样本,已知从学生中抽取的人数为150,那么该学校的教师人数是 。
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科目:高中数学 来源:2015届江西赣州四所重点中学高二上学期期末联考文数学试卷(解析版) 题型:填空题
某学校共有师生2400人,现用分层抽样方法,从所有师生中抽取一个容量为160的样本,已知从学生中抽取的人数为150,那么该学校的教师人数是 。
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科目:高中数学 来源:2015届江西赣州四所重点中学高二上学期期末联考文数学试卷(解析版) 题型:选择题
过抛物线y=x2上的点M(,)的切线的倾斜角是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
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科目:高中数学 来源:2015届江西赣州六校高二上学期期末联考理科数学试卷(解析版) 题型:填空题
已知,直线和曲线有两个不同的交点,他们围成的平面区域为,向区域上随机投以点,点落在内的概率为,若,则实数的取值范围是:
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科目:高中数学 来源:2015届江西赣州六校高二上学期期末联考理科数学试卷(解析版) 题型:选择题
“过点的直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线的斜率的值为”的( )
A.充分必要条件 B.充分但不必要条件
C.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件
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