精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

如图,已知四棱锥中,底面菱形平面分别是的中点.

1)证明:平面

2)取,若上的动点,与平面所成最大角的正切值为,求二面角的余弦值。

 

1)详见解析;(2

【解析】

试题分析:(1)用线面垂直证,用等腰三角形中线即为高线证,根据线面垂直得判定定理即可得证。(2)由(1)知平面,则与平面所成的角。因为为定值,所以最短即最短时角的正弦值最大。故此时。故此可推导出的值,过,则平面,过,连接,则为二面角的平面角。也可采用空间向量法。

试题解析:【解析】
方法一:(
1)证明:由四边形为菱形,,可得为正三角形,因为的中点,
所以 1
,因此 2
因为平面平面
所以 3
平面平面
所以平面 . 5

2上任意一点,连接由(1)知平面,则与平面所成的角 6
中,

所以当最短时,即当时,最大 . 7
此时, 因此
,所以
所以 8

因为平面平面
所以平面平面
,则平面
,连接,则为二面角的平面角, 10
中,

的中点,在中,

11
中,
即所求二面角的余弦值为 13

第二问:方法二

2)由(1)可知两两垂直,

为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系。

,

(其中 6

的法向量为

与平面所成最大角的正切值为 7

的最大值为

的最小值为

函数对称轴

所以,计算可得 9

所以

设平面的一个法向量为,则

因此,取,则 11

为平面的一个法向量. 12

所以

所以,所求二面角的余弦值为 13

考点:1线面垂直;2线面角;3二面角。

 

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:2015届河北邯郸高二上学期期末考试理科数学试卷(解析版) 题型:选择题

下列各式中,最小值等于2的是( )

A B

C  D

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2015届江西赣州四所重点中学高二上学期期末联考理数学试卷(解析版) 题型:填空题

某学校共有师生2400人,现用分层抽样方法,从所有师生中抽取一个容量为160的样本,已知从学生中抽取的人数为150,那么该学校的教师人数是

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2015届江西赣州四所重点中学高二上学期期末联考文数学试卷(解析版) 题型:填空题

某学校共有师生2400人,现用分层抽样方法,从所有师生中抽取一个容量为160的样本,已知从学生中抽取的人数为150,那么该学校的教师人数是

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2015届江西赣州四所重点中学高二上学期期末联考文数学试卷(解析版) 题型:选择题

过抛物线yx2上的点M(,)的切线的倾斜角是( )

A30° B45° C60° D90°

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2015届江西赣州六校高二上学期期末联考理科数学试卷(解析版) 题型:填空题

已知,直线和曲线有两个不同的交点,他们围成的平面区域为,向区域上随机投以点,落在内的概率为,若,则实数的取值范围是:

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2015届江西赣州六校高二上学期期末联考理科数学试卷(解析版) 题型:选择题

“过点的直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线的斜率的值为的( )

A.充分必要条件 B.充分但不必要条件

C.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2015届江西赣州六校高二上学期期末联考文科数学试卷(解析版) 题型:填空题

如图的程序框图所示,若输入,则输出的值是

 

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2015届江西省宜春市高二上学期期末统考文科数学试卷(解析版) 题型:填空题

已知数列的前项和为 .

 

查看答案和解析>>

同步练习册答案