Question

数列{a_n}的前n项和是s_n，且s_n=

nan

2

，a₂=2．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若不等式ts_n＞s_2n对任意不小于2的正整数n都成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析：a₁=S₁=

a1

2

，a₁=0，S₂=a₁+a₂=a₂=2，a_n+1=S_n+1-S_n=

1

2

（n+1）a_n+1-

1

2

na_n，由此能求出a_n．
（2）S_n=na（n）/2=n（n-1）．S_2n=2n（2n-1）.0＜tS_n-S_2n=tn（n-1）-2n（2n-1）=n（tn-t-4n+2）=n（tn-2t-4n+8+t-6）=nf（t，n）．由此能求出t的取值范围．

解答：解：a₁=S₁=

a1

2

，a₁=0，
S₂=a₁+a₂=a₂=2，
a_n+1=S_n+1-S_n=

1

2

（n+1）a_n+1-

1

2

na_n，
（n-1）a_n+1=na_n，

an+1

n

=

an

n-1

=…=

a2

1

=2，
a_n=2（n-1）．
（2）S_n=na（n）/2=n（n-1）．
S_2n=2n（2n-1）．
0＜tS_n-S_2n=tn（n-1）-2n（2n-1）
=n（tn-t-4n+2）
=n（tn-2t-4n+8+t-6）
=n[t（n-2）-4（n-2）+t-4-2]
=n[（t-4）（n-2）+（t-4）-2]
=nf（t，n）．
t≤4时，f（t，n）＜0，
4＜t时，f（t，n）=（t-4）（n-2+1-

2

t-4

），
f（t，2）=（t-4）•（1-

2

t-4

），
0＜1-

2

t-4

=

t-6

t-4

，t＞6．
t＞6，n≥2时，
tS_n-S_2n=n[（t-4）（n-2）+（t-6）]＞0满足要求．
因此，t的取值范围是 t＞6．

点评：本题考查数列与不等式的综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．