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【题目】如图所示MNP分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱ABBCDD1上的点.

(1)求证无论点PDD1上如何移动总有BPMN

(2)DD1上是否存在这样的点P使得平面APC1⊥平面ACC1证明你的结论.

【答案】(1)证明见解析;(1)存在点P,证明见解析;

【解析】解:(1)证明:连ACBD,在△ABC中,

=,∴MN∥AC.

∵AC⊥BDDD1底面ABCD.

∴DD1⊥AC,故AC⊥平面BDD1B1.

进而MN⊥平面BDD1B1

∵BPBDD1B1

∴MN⊥BP.

2)假设存在点P,使面APC1ACC1,过PPF⊥AC1,则PF⊥ACC1.

∵BD⊥ACC1∴PF∥BD,而两平行线PFBD所确定的平面即为两相交直线BDDD1确定的对角面BB1D1D

∴FAC1与对角面BB1D1D的交点,

FAC1的中点,由PF∥BDP∈DD1知,P也是DD1的中点.

显然,当PDD1中点,FAC1中点时,

∵APPC1∴PF⊥AC1

PF∥BDBD⊥AC∴PF⊥AC.

从而PF⊥ACC1,则面APC1ACC1.

故存在点P,使PDD1中点时,面APC1ACC1.

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D. B盒中编号为奇数的小球多于C盒中编号为奇数的小球

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