Question

【题目】如图，曲线Γ由曲线C1： （a＞b＞0，y≤0）和曲线C2： （a＞0，b＞0，y＞0）组成，其中点F1 ， F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3 ， F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，
（Ⅰ）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵F2（2，0），F3（﹣6，0），∴ a 则曲线Γ的方程为 和 （y＞0）
（Ⅱ）曲线C2的渐近线为y=± ，如图，设直线l：y=
则 2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0
△=（2m）2﹣42（m2﹣a2）=8a2﹣4m2＞0﹣
又由数形结合知m≥a，
设点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（x0 ， y0）则 ，
∴ ，
∴ ，即点M在直线y=﹣ 上．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，曲线C1为 ，点F4（6，0）．
设直线l1的方程为x=ny+6（n＞0）
由 （4n2+5）y2+48ny+64=0
△=（48n）2﹣4×64（4n2+5）＞0n2＞1
设C（x3 ， y3），D（x4 ， y4）由韦达定理：
|y3﹣y4|= ．
s△CDF1= |F1F4|×|y3﹣y4|=
令t= ，∴n2=t2+1，s△CDF1=64 ×
∵t＞0，∴ ，当且仅当t= 即n= 时等号成立
∴n= 时，△CDF1面积的最大值
【解析】（Ⅰ）由F2（2，0），F3（﹣6，0），可得） a（Ⅱ）曲线C2的渐近线为± ，如图，设点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（x0 ， y0），设直线l：y= ，与椭圆方程联立化为2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0，利用△＞0，根与系数的关系、中点坐标公式，只要证明y0=﹣ 即可．（Ⅲ）设直线l1的方程为x=ny+6（n＞0）．与椭圆方程联立可得（5+4n2）y2+48ny+64=0，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出．