Question

【题目】已知四边形是梯形，如图，，，，为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（如图2），且

（1）求证：平面平面；

（2）求与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）连接，取的中点，连接，，，作于，根据勾股定理逆定理得到，证明平面，得到答案.

（2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，计算平面的一个法向量为，再利用向量夹角公式得到答案.

（1）连接，因为，，，为的中点，，所以四边形是边长为1的正方形，且.

取的中点，连接，，，因为，所以，，，

作于，则.

因为，，，所以，故.

因为，所以平面.

因为平面，所以平面平面.

（2）由（1）知平面，.以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为，所以，，，，，，

设平面的一个法向量为，则得

即，令，则，，所以.

因为，设与平面所成的角为，

则，

即与平面所成角的正弦值为.