Question

如图：四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=

3

，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）证明：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；
（2）当BE等于何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°．

Answer 1

分析：（1）建立如图所示空间坐标系，得出P、B、F、D的坐标．设BE=x得E（x，1，0），算出

PE

、

AF

的坐标，得出

PE

•

AF

=0，由此可得无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；
（2）利用垂直向量数量积为零的方法，算出

m

=(

3

3

，1-

3

3

x，1)是平面PDE的一个法向量，结合

AP

=（0，0，1）与题中PA与平面PDE所成角，利用空间向量夹角公式建立关于x的方程，解出x的值即可得到PA与平面PDE所成角的大小为45°时，BE的长．

解答：解：（1）分别以AD、AB、AP所在直线为x、y、z轴，建立如图所示空间坐标系
则可得P（0，0，1），B（0，1，0），F（0，

1

2

，

1

2

），D（

3

，0，0）
  设BE=x，则E（x，1，0）
∴

PE

=（x，1，-1）
得

PE

•

AF

=x•0+1×

1

2

+（-1）×

1

2

=0
可得

PE

⊥

AF

，即AF⊥PE成立；
（2）求出

PD

=（

3

，0，-1），设平面PDE的一个法向量为

m

=(p，q，1)
则

m • PD = 3 p-1=0 m • PE =px+q-1=0

，得

m

=(

3

3

，1-

3

3

x，1)
∵PA与平面PDE所成角的大小为45°，

AP

=（0，0，1）
∴sin45°=

| m • AP |

|m| • |AP|

=

2

2

，得

1

1 3 +(1- 3 3 x)2+1

=

2

2

解之得x=

3

-

2

或x=

3

+

2

∵BE=x∈[0，

3

]，
∴BE=

3

-

2

，即当BE等于

3

-

2

时，PA与平面PDE所成角的大小为45°．

点评：本题利用空间坐标系研究了线线垂直和直线与平面所成角大小．着重考查了空间垂直位置关系的判定与证明、直线与平面所成角和向量的夹角公式等知识，属于中档题．