Question

（2010•重庆三模）如图，已知圆G：(x+

2 3

a)2+y2=4a2(a＞0)，定点T(

2 3

a，0)，M为圆上一动点，P点在TM上，N点在GM上，且满足

TM

=2

TP

，

NP

•

TM

=0，点N的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线 E的方程；
（Ⅱ）设曲线E交直线l：y=k（x+1）于A、B两点，与x轴交于点C，若

AC

=2

CB

，若△ABO的面积是

3

2

，求a值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

TM

=2

TP

，

NP

•

TM

=0可得|NM|=|NT|，∴|NG|+|NT|=|NG|+|NM|=|GM|=2a＞|GT|=2

2 3

a，再根据椭圆的定义可得曲线E的方程．
（Ⅱ）联立直线与椭圆的方程再结合根与系数的关系可得：y₁+y₂=

2k

1+3k2

，y₁y₂=

k2(1-a2)

1+3k2

，再结合

AC

=2

CB

可得y₁=-2y₂，即可求出y2，再利用其表示出三角形的面积，进而求出k的取值，即可得到a的取值．

解答：解：（Ⅰ）∵

TM

=2

TP

，

NP

•

TM

=0，
∴|NM|=|NT|，
∴|NG|+|NT|=|NG|+|NM|=|GM|=2a＞|GT|=2

2 3

a …2分
∴N 的轨迹是以G（-

2 3

a，0)，T(

2 3

a，0）为焦点的椭圆，且长轴长为2a，
∴短轴长为

2a

3

，
所以E的方程为：x²+3y²=a²．…4分
（Ⅱ）由

y=k(x+1) x2+3y2=a2

得：(

1

k2

+3)y2-

2

k

y+1-a2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
所以由根与系数的关系可得：y₁+y₂=

2k

1+3k2

…①，y₁y₂=

k2(1-a2)

1+3k2

…②…6分
∵

AC

=2

CB

，
∴y₁=-2y₂ …③
 由①③解得：y₂=-

2k

1+3k2

…④…8分
所以S_△=

1

2

|OC|•|y1-y2|=

3

2

|y2|=

3|k|

1+3k2

=

3

2

⇒k=±

3

3

…11分
将k=±

3

3

代入②③④解得：a=±

5．

满足△＞0 …12分

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合题，解题的关键是掌握圆锥曲线的定义，由题设条件判断出所求的轨迹是椭圆，以及能将向量的数量积转化为两个点的坐标关系，以利于用直线与圆锥曲线的方程研究参数的取值，本题综合性强运算较繁杂，做题时要严谨认真．