Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）如果对于任意的，恒成立，求实数的取值范围；

（III）设函数， ，过点作函数的图象的所有切线，令各切点的横坐标按从小到大构成数列，求数列的所有项之和的值.

Answer 1

【答案】（1）增区间为；减区间为

（2）（3）

【解析】

试题分析：(1)求出函数的导函数,由导函数大于0求其增区间,导函数小于0求其减区间;
(2)构造辅助函数,把问题转化为求时

,然后对k的值进行分类讨论,求k在不同取值范围内时的的最小值,由最小值大于等于0得到k的取值范围;
(3)把的解析式代入 ,求出函数的导函数,设出切点坐标,求出函数在切点处的导数,由点斜式写出切线方程,把M的坐标代入切线方程,得到关于切点横坐标的三角方程,利用函数图象交点分析得到切点的横坐标关于对称成对出现,最后由给出的自变量的范围得到数列的所有项之和S的值.

试题分析：⑴

的增区间为 ；减区间为 .

⑵令,要使恒成立，只需当时，

,令，则对恒成立

在上是增函数，则

①当时，恒成立，在上为增函数，满足题意；

②当时，在上有实根, 在上是增函数

则当时，，不符合题意；

③当时，恒成立，在上为减函数，

不符合题意

，即.

⑶

设切点坐标为，则切线斜率为

从而切线方程为

令，，这两个函数的图象均关于点对称，则它们交点的横坐标也关于对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列的项也关于成对出现，又在共有1008对，每对和为.

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