Question

已知直线Ax+By+C=0，
（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；
（2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；
（3）系数满足什么条件时只与x轴相交；
（4）系数满足什么条件时是x轴；
（5）设P（x₀，y₀）为直线Ax+By+C=0上一点，证明：这条直线的方程可以写成A（x-x₀）+B（y-y₀）=0．

Answer 1

分析：（1）首先注意这个方程表示一条直线的条件，即A，B不同时为0，在把原点的坐标代入，得到C要满足的条件．
（2）直线与坐标轴都相交，说明直线不与两条坐标轴垂直，因次得到A，B都不为0．
（3）直线Ax+By+C=0只与x轴相交，就是指与y轴不相交--平行、重合均可，因此直线方程将化成x=a的形式．
（4）直线是x轴，x轴的方程为y=0，直线方程Ax+By+C=0中A=0，C=0，B≠0即可．
（5）点是直线上的点，则点的坐标满足直线的方程，把点的坐标代入直线的方程，整理成所要的形式．

解答：解：（1）将O（0，0）代入Ax+By+C=0中
得C=0且A、B不同为零．
（2）直线Ax+By+C=0与坐标轴都相交，说明横纵截距a、b均存在．
设x=0，得y=b=-

C

B

；
设y=0，得x=a=-

C

A

均成立，
∴系数A、B应均不为零．
（3）直线Ax+By+C=0只与x轴相交，就是指与y轴不相交--平行、重合均可．
因此直线方程将化成x=a的形式，
故B=0且A≠0为所求．
（4）x轴的方程为y=0，直线方程Ax+By+C=0中A=0，C=0，B≠0即可．
B可以不为1，即By=0也可以等价转化为y=0．
（5）∵P（x₀，y₀）在直线Ax+By+C=0上，
∴（x₀，y₀）满足方程Ax+By+C=0，即Ax₀+By₀+C=0，
∴C=-Ax₀-By₀，
故Ax+By+C=0可化为Ax+By-Ax₀-By₀=0，
即A（x-x₀）+B（y-y₀）=0．

点评：本题考查了直线与坐标系的所有关系，是一个非常全面的问题，一个题目可以概括直线的绝大部分内容，是一个好题．