Question

如图，将45°直角三角板和30°的直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合．若

DB

=x•

DC

+y•

DA

，则x=

 

，y=

 

．

Answer 1

分析：根据直角三角形中的边角关系求出各边长，余弦定理求出DB²=x²+y² ①，Rt△CC′B中，由勾股定理得  BC²=CC^'2+C′B²，即 6=（x-1）²+y² ②，由①②可解得 x、y值．

解答：解：由题意得，若设 AD=DC=1，则 AC=

2

，AB=2

2

，BC=

6

，由题意知，

DB

=x•

DC

+y•

DA

，
△BCD中，由余弦定理得 DB²=DC²+CB²-2DC•CB•cos（45°+90°）=1+6+2×1×

6

×

2

2

=7+2

3

，
∵

DB

=x•

DC

+y•

DA

，∠ADC=90°，∴DB²=x²+y²，∴x²+y²=7+2

3

   ①．
如图，作

DC′

=x

DC

，

DA′

=y

DA

，则

DB

=

DC′

+

DA′

，CC′=x-1，C′B=y，
Rt△CC′B中，由勾股定理得  BC²=CC^'2+C′B²，即 6=（x-1）²+y²，②
由①②可得 x=1+

3

，y=

3

，故答案为   1+

3

、

3

．

点评：本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，余弦定理、勾股定理得应用，体现了数形集合的数学思想．