Question

2．如图，某房地产公司要在一块矩形宽阔地面上开发物业，阴影部分是不能开发的古建筑群，且要求用在一条直线上的栏栅进行隔离，古建筑群的边界为曲线y=1-$\frac{4}{3}$x²的一部分，栏栅与矩形区域边界交于点M，N．则△MON面积的最小值为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 设MN为曲线y=1-$\frac{4}{3}$x²的切线，切点为（m，n），由抛物线的方程，求出导数，求得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程，分别令x=0，y=0可得M，N的坐标，求得△MNO的面积，再由导数求得单调区间和极小值，也为最小值，即可得到所求值．

解答 解：设MN为曲线y=1-$\frac{4}{3}$x²的切线，切点为（m，n），
可得n=1-$\frac{4}{3}$m²，y=1-$\frac{4}{3}$x²的导数为y′=-$\frac{8}{3}$x，
即有直线MN的方程为y-（1-$\frac{4}{3}$m²）=-$\frac{8}{3}$m（x-m），
令x=0，可得y=1+$\frac{4}{3}$m²，再令y=0，可得x=$\frac{3+4{m}^{2}}{8m}$（m＞0），
即有△MON面积为S=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{4}{3}$m²）•$\frac{3+4{m}^{2}}{8m}$=$\frac{9+16{m}^{4}+24{m}^{2}}{48m}$，
由S′=$\frac{1}{48}$（-$\frac{9}{{m}^{2}}$+48m²+24）=0，解得m=$\frac{1}{2}$，
当m＞$\frac{1}{2}$时，S′＞0，函数S递增；当0＜m＜$\frac{1}{2}$时，S′＜0，函数S递减．
即有m=$\frac{1}{2}$处取得最小值，且为$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查三角形的面积的最值的求法，注意运用函数的导数，求得切线方程，再由单调性求最值，考查运算能力，属于中档题．