Question

已知集合N={1，2，3，4，…，n}，A为非空集合，且A⊆N，定义A的“交替和”如下：将集合A中的元素按由大到小排列，然后从最大的数开始，交替地减、加后续的数，直到最后一个数，并规定单元素集合的交替和为该元素．例如集合{1，2，5，7，8}的交替和为8-7+5-2+1=5，集合{4}的交替和为4，当n=2时，集合N={1，2}的非空子集为{1}，{2}，{1，2}，记三个集合的交替和的总和为S₂=1+2+（2-1）=4，则n=3时，集合N={1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和S₃=

12

；集合N={1，2，3，4，…，n}的所有非空子集的交替和的总和S_n=

n•2^n-1

．

Answer 1

分析：根据“交替和”的定义：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数可求出“交替和”的总和S₃，再根据其结果猜测集合N={1，2，3，…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和S_n即可．

解答：解：法（1）：由题意，S₁=1=1×2⁰，S₂=4=2×2¹，
当n=3时，S₃=1+2+3+（2-1）+（3-1）+（3-2）+（3-2+1）=12=3×2²，
当n=4时，S₄=1+2+3+4+（2-1）+（3-1）+（4-1）+（3-2）+（4-2）+（4-3+2）+（3-2+1）+（4-3+2+1）=32=4×2³，
∴根据前4项猜测集合N={1，2，3，…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和S_n=n•2^n-1
法（2）：同法（1）可得S₃=1+2+3+（2-1）+（3-1）+（3-2）+（3-2+1）=12，
对于集合N={1，2，3，4，…，n}，分析可得其共有2ⁿ个子集，
将其子集分为两类：第一类包含元素n，第二类不包含元素n，其余的元素相同；
这两类子集可建立一一对应关系，如{1，n}和{1}，{n}和空集，…
共有2^（n-1）对这样的子集，
对于每一对这样的子集，如A和B，
∵n大于B中任意元素，
∴如果子集B的交替和为b，则子集A的交替和为n-b
这样，A与B的交替和 之和为n，
则S_n=n•2^n-1
故答案为：12，n•2^n-1

点评：本题考查新定义，考查数列的应用，同时考查了归纳推理的能力，属于中档题．