Question

已知直线x+y=a与圆x²+y²=4交于A、B两不同点，O是坐标原点，向量

OA

、

OB

满足

OA

•

OB

=0，则实数a的值是（　　）

• A、2
• B、±2
• C、±

  6

• D、-2

Answer 1

分析：由题意可得△AOB为等腰直角三角形，故圆心到直线的距离等于

2 |a|

2

，故弦长AB=

2

a，把直线方程代入圆的方程化简，利用根与系数的关系可得 x₁+x₂ 和x₁•x₂，由弦长公式可得

2

a=

1+1

×

(x1+ x2)2-4x1• x2

，
解方程求得 a 的值．

解答：解：由题意可得 OA⊥OB，△AOB为等腰直角三角形，故圆心（0，0）到直线x+y=a的距离等于

|0+0-a|

2

=

2 |a|

2

，
故弦长AB=

2

a． 把直线x+y=a代入圆x²+y²=4可得 2x²-2ax+a²-4=0，∴x₁+x₂=a，
x₁•x₂=

a2-4

2

，由弦长公式可得 

2

a=

1+1

×

(x1+ x2)2-4x1• x2

=

2

•

8-a2

，
∴a²=4，∴a=±2，故选  B．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，求出弦长AB=

2

a，是解题的关键．