Question

已知函数φ(x)=

a

x+1

，a为正常数．
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=

9

2

，求函数f（x）的单调增区间；
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x₁，x₂∈（0，2]，x₁≠x₂，都有

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＜-1，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．
（2）设h（x）=g（x）+x，依题意得出h（x）在（0，2]上是减函数．下面对x分类讨论：①当1≤x≤2时，②当0＜x＜1时，利用导数研究函数的单调性从及最值，即可求得求a的取值范围．

解答：解：（1）f′(x)=

1

x

-

a

(x+1)2

=

x2+(2-a)x+1

x(x+1)2

，（2分）
∵a=

9

2

，令f′（x）＞0，得x＞2，或x＜

1

2

，
∴函数f（x）的单调增区间为(0，

1

2

)，（2，+∞）．（6分）
（2）∵

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＜-1，
∴

g(x2)-g(x1)

x2-x1

+1＜0，
∴

g(x2)+x2-[g(x1)+x1]

x2-x1

＜0，（8分）
设h（x）=g（x）+x，依题意，h（x）在（0，2]上是减函数．
当1≤x≤2时，h(x)=lnx+

a

x+1

+x，h′(x)=

1

x

-

a

(x+1)2

+1，
令h′（x）≤0，得：a≥

(x+1)2

x

+(x+1)2=x2+3x+

1

x

+3对x∈[1，2]恒成立，
设m(x)=x2+3x+

1

x

+3，则m′(x)=2x+3-

1

x2

，
∵1≤x≤2，∴m′(x)=2x+3-

1

x2

＞0，
∴m（x）在[1，2]上递增，则当x=2时，m（x）有最大值为

27

2

，
∴a≥

27

2

（12分）
当0＜x＜1时，h(x)=-lnx+

a

x+1

+x，h′(x)=-

1

x

-

a

(x+1)2

+1，
令h′（x）≤0，得：a≥-

(x+1)2

x

+(x+1)2=x2+x-

1

x

-1，
设t(x)=x2+x-

1

x

-1，则t′(x)=2x+1+

1

x2

＞0，
∴t（x）在（0，1）上是增函数，
∴t（x）＜t（1）=0，
∴a≥0，（15分）综上所述，a≥

27

2

（16分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．