Question

有如下程序框图，它表示输入x，求函数y=f（x）的值的一个算法，
（1）令输入n=3，请写出输出y=f（x）的解析式；
（2）请根据（1）直接写出当输入n=10时输出f（x）的解析式，若此时的f（x）满足：f(x)=a10(x-1)10+a9(x-1)9+…+a₁（x-1）+a₀，求a₀和a₈．

Answer 1

分析：（1）由程序框图可得：执行循环第一次i=2，f（x）=x+2．执行循环第二次i=3，f（x）=（x+2）x+3=x²+2x+3，依此类推，执行第三次运行结束，即可得出；
（2）由（1）的规律直接得出f（x）=x¹⁰+2x⁹+3x⁸+…+10x+11，故x¹⁰+2x⁹+3x⁸+…+10x+11=a10(x-1)10+a9(x-1)9+…a1(x-1)+a0，令x=1，即可得出a₀．            
由f（x）=[（x-1）+1]¹⁰+2[（x-1）+1]⁹+…+10[（x-1）+1]+11═a10(x-1)10+a9(x-1)9+…a1(x-1)+a0，比较可得a₈=C₁₀²+2C₉¹+3C₈⁰

解答：解：（1）由程序框图可得：执行循环第一次i=2，f（x）=x+2．
执行循环第二次i=3，f（x）=（x+2）x+3=x²+2x+3
执行循环第三次i=4，f（x）=x³+2x²+3x+4，运行结束．
∴f（x）=x³+2x²+3x+4．
（2）f（x）=x¹⁰+2x⁹+3x⁸+…+10x+11，
x¹⁰+2x⁹+3x⁸+…+10x+11=a10(x-1)10+a9(x-1)9+…a1(x-1)+a0
令x=1，得a₀=1+2+…+11=

11×(1+11)

2

=66                                   
f（x）=[（x-1）+1]¹⁰+2[（x-1）+1]⁹+…+10[（x-1）+1]+11
═a10(x-1)10+a9(x-1)9+…a1(x-1)+a0，
∴a₈=C₁₀²+2C₉¹+3C₈⁰=66．

点评：本题考查了循环结构的功能、二项展开式的性质及应用，属于难题．