Question

3．若二次函数f（x）=x²-2x+2在区间[t，t+1]上的最小值为g（t），求函数g（t）在t∈[-3，-2]时的最值．

Answer 1

分析 先求出函数的对称轴，通过讨论t的范围，求出g（t）的表达式，进而求出g（t）在[-3，-2]上的单调性，求出g（t）的最值．

解答 解：函数f（x）的对称轴是x=1，
∴函数f（x）在（-∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
①当t+1≤0，即t≤0时，f（x）在[t，t+1]单调递减，
g（t）=f（x）_min=f（t+1）=t²+1，
②1＜t+1＜2，即0＜t＜1时，f（x）在[t，1）递减，在（1，t+1]递增，
∴g（t）=f（x）_min=f（1）=1，
③t≥1时，函数f（x）在[t，t+1]单调递增，
∴g（t）=f（x）_min=f（t）=t²-2t+2，
∴$g（t）=\left\{\begin{array}{l}{t^2}+1（t≤0）\\ 1（0＜t＜1）\\{t^2}-2t+2（t≥1）\end{array}\right.$，
∵t∈（-∞，0]时，g（t）=t²+1为减函数，
∴在[-3，-2]上，g（t）=t²+1也为减函数，
∴g（t）_min=g（-2）=5，g（t）_max=g（-3）=10．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．