Question

函数f（x）是幂函数，图象过（2，8），定义在实数R上的函数y=F（x）是奇函数，当x＞0时，F（x）=f（x）+1，求F（x）在R上的表达式；并画出图象．

Answer 1

分析：设出函数的解析式，将（2，8）代入可得函数f（x）的解析式，进而根据函数y=F（x）是奇函数，当x＞0时，F（x）=f（x）+1，求出x＜0及x=0时，F（x）的解析式，可得F（x）在R上的表达式，进而根据分段函数图象分段画的原则画出图象．

解答：解：设y=x^α，（x＞0）；将（2，8）代入得α=3，
当x＞0，F（x）=f（x）+1=x³+1------------------------（3分）
当x＜0，-x＞0，F（-x）=（-x）³+1=-x³+1，
∵y=F（x）是奇函数，
∴F（-X）=-F（X）∴F（x）=x³-1------（8分）
∵y=F（x）是定义在实数R上的函数；
∴F（0）=0
∴F(x)=

x3-1(x＜0) 0(x=0) x3+1(x＞0)

------（10分）     
其图象如下图所示：

点评：本题考查的知识点是函数图象的作法，函数解析式的求解及常用方法，其中求出幂函数f（x）的解析式是解答的关键．