Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2BC，M，N分别为PC，PB的中点． （Ⅰ）求证：PB⊥DM；
（Ⅱ）求CD与平面ADMN所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）解法1：∵N是PB的中点，PA=AB，∴AN⊥PB． ∵PA⊥平面ABCD，所以AD⊥PA．
又AD⊥AB，PA∩AB=A，∴AD⊥平面PAB，AD⊥PB．
又AD∩AN=A，∴PB⊥平面ADMN．
∵DM平面ADMN，∴PB⊥DM
解法2：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，设BC=1，
可得，A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，1，0）， ，D（0，2，0）．
因为 ，所以PB⊥DM．

（Ⅱ）解法1：取AD中点Q，连接BQ和NQ，则BQ∥DC，又PB⊥平面ADMN，∴CD与平面ADMN所成的角为∠BQN．
设BC=1，在Rt△BQN中，则 ， ，故 ．
所以CD与平面ADMN所成的角的正弦值为 ．
解法2：因为 ．
所以 PB⊥AD，又PB⊥DM，所以PB⊥平面ADMN，
因此 的余角即是CD与平面ADMN所成的角．
因为 ．
所以CD与平面ADMN所成的角的正弦值为
【解析】（Ⅰ）解法1 先由AD⊥PA．AD⊥AB，证出AD⊥平面PAB得出AD⊥PB．又N是PB的中点，PA=AB，得出AN⊥PB．证出PB⊥平面ADMN后，即可证出PB⊥DM． 解法2：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，设BC=1，通过证明 证出PB⊥DM （Ⅱ）解法1：取AD中点Q，连接BQ和NQ，则BQ∥DC，又PB⊥平面ADMN，所以CD与平面ADMN所成的角为∠BQN．在Rt△BQN中求解即可． 解法2，通过 PB⊥平面ADMN，可知 是平面ADMN 的一个法向量， 的余角即是CD与平面ADMN所成的角．
【考点精析】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系和直线与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点；一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题．