Question

如图所示，现有一边长为6的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截出去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？

 

Answer 1

【答案】

当截下的正方形边长为1时，容积最大.

【解析】本题是考察导数应用的题目先设截下的小正方形边长x,然后建立容积V(x)的关系式，再求导，根据导数等于零，确定最值一般地在应用题中，一般考察的都是单峰函数，导数等于零的位置只有一个，它就是要求的最值位置

解：设截下的小正方形边长x，容器容积为

V（x），则做成长方体形无盖容器底面边长

为8-2x，高为X，于是

            V（x）=（6-2x）² x，0<x<3

   即      V（x）=4x³ -24x²+36x，0<x<3

      有  V'（x）=12x²-48x+36

      令V'（x）=0,即令12x²-48x+36=0

      解得x₁=1，x₂=3（舍去）

     当0<x<1时，V'（x）>0;当1<x<3时，V'（x）<0

因此x=1是极大值点，且在区间（1,3）内，是唯一的极值点，所以x=1是V（x）的最大值点

     即当截下的正方形边长为1时，容积最大