Question

1．设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知C=$\frac{π}{3}$．
（1）若acosA=bcosB，求角A的大小；
（2）若b=2，c=$\sqrt{3}$，求边a的大小．

Answer 1

分析 （1）运用正弦定理和二倍角公式，可得A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，再用条件即可得到A；
（2）运用余弦定理，结合条件，解方程即可得到a的值．

解答 解：（1）由acosA=bcosB及正弦定理可得
2sinAcosA=2sinBcosB，
即sin2A=sin2B，
又A∈（0，π），B∈（0，π），
所以有A=B或A+B=$\frac{π}{2}$．
又因为C=$\frac{π}{3}$，所以A=B，
因此A=$\frac{π}{3}$．                                        
（2）由于b=2，c=$\sqrt{3}$，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，
即为（$\sqrt{3}$）²=a²+2²-4acos$\frac{π}{3}$，
所以a=1．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理的运用，二倍角公式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．