Question

【题目】设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣ ＜φ＜ ，x∈R）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象沿x轴方向向右平移 个单位长度，再把横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，当x∈[﹣ ， ]时，求函数g（x）的值域．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由图象知，A=2，

又 = ﹣ = ，ω＞0，

所以T=2π= ，得ω=1．

所以f（x）=2sin（x+φ），

将点（ ，2）代入，得 +φ=2kπ+ （k∈Z），

即φ= +2kπ（k∈Z），又﹣ ＜φ＜ ，

所以，φ= ．

所以f（x）=2sin（x+ ）．

故函数y=f（x）的解析式为：f（x）=2sin（x+ ）．

（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象沿x轴方向右平移 个单位长度，

得到的图象对应的解析式为：y=2sinx，

再把横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为：g（x）=2sin2x，

∵x∈[﹣ ， ]，

∴﹣ ≤2x≤ ，

∴2sin2x∈[﹣1，2]，可得：g（x）∈[﹣1，2]

【解析】（Ⅰ）由图象知，A，周期T，利用周期公式可求ω，由点（ ，2）在函数图象上，结合范围﹣ ＜φ＜ ，可求φ，从而解得函数解析式．（Ⅱ）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可求g（x），利用正弦函数的图象和性质即可得解．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的相关知识，掌握图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．