Question

已知抛物线C的方程为x²=2py（p＞0），焦点F为（0，1），点P（x₁，y₁）是抛物线上的任意一点，过点P作抛物线的切线交抛物线的准线l于点A（s，t）．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若x₁∈[1，4]，求s的取值范围．
（3）过点A作抛物线C的另一条切线AQ，其中Q（x₂，y₂）为切点，试问直线PQ是否恒过定点，若是，求出定点；若不是，请说明理由．

Answer 1

（本题满分15分）
（1）由抛物线的焦点F（0，1）可得p=2
故所求的抛物线的方程为x²=4y…（3分）
（2）由导数的几何意义可得过P的切线斜率k=y′|x=x1=

1

2

x1．
∴切线方程为y-y1=

1

2

x1(x-x1)．
∵准线方程为y=-1．
在切线方程中，令y=-1…（5分）
可得s=

x1

2

-

2

x1

．…（7分）
又s在[1，4]单调递增
∴s的取值范围是-

3

2

≤s≤

3

2

．…（10分）
（3）猜测直线PQ恒过点F（0，1）…（11分）
由题得P(x1，

x 21

4

)，Q(x2，

x 22

4

)，x₁≠x₂
要证点P、F、Q三点共线，只需证k_PF=k_QF，即证x₁x₂=-4…（13分）
由（2）知s=

x1

2

-

2

x1

，同理得s=

x2

2

-

2

x2

，故

x1

2

-

2

x1

=

x2

2

-

2

x2

∴

x1-x2

2

=

2

x1

-

2

x2

=

2(x2-x1)

x1x2

∵x₁≠x₂
∴x₁x₂=-4
∵K_PF=

x12-1 4

x1

=

x12-1

4x1

，KQF=

x22-1

4x2

=

(- 1 x1 )2-1

4(- 1 x1 )

=

1-x12

-4x1

=

x12-1

4x1

=K_PF
从而可知点P、F、Q三点共线，即直线PQ恒过点F（0，1）…（15分）