Question

2．已知函数f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+2}$（a∈R）是奇函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求证：函数f（x）在（0，$\sqrt{2}$]上单调递增．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用f（0）=0，即可求a的值；
（Ⅱ）x∈（0，$\sqrt{2}$]，f′（x）=$\frac{-{x}^{2}+2}{（{x}^{2}+2）^{2}}$＞0，即可证明函数f（x）在（0，$\sqrt{2}$]上单调递增．

解答 （Ⅰ）解：由题意，f（0）=$\frac{a}{2}$=0，∴a=0；
（Ⅱ）证明：f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+2}$，
∴x∈（0，$\sqrt{2}$]，f′（x）=$\frac{-{x}^{2}+2}{（{x}^{2}+2）^{2}}$＞0，
∴函数f（x）在（0，$\sqrt{2}$]上单调递增．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性，考查导数知识的运用，属于中档题．