Question

19．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．命题p：“a，b，c成等比数列”；命题q：“△ABC是等边三角形”．则p是q的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 △ABC中，A，B，C成等差数列．可得2B=A+C，又B+A+C=π，解得B=$\frac{π}{3}$．命题p：“a，b，c成等比数列”，可得b²=ac，利用余弦定理可得：a=c，可得△ABC是等边三角形．即p⇒q，反之也成立．

解答 解：∵△ABC中，A，B，C成等差数列．∴2B=A+C，又B+A+C=π，解得B=$\frac{π}{3}$．
命题p：“a，b，c成等比数列”，∴b²=ac，∴b²=a²+c²-2accos$\frac{π}{3}$=ac，化为（a-c）²=0，
解得a=c，∴a=b=c．∴△ABC是等边三角形．
即p⇒q，反之也成立．
则p是q的充要条件．
故选：C．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的性质、余弦定理、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．