Question

9．已知在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=2，E，F分别是BC，BB₁的中点．
（1）若AA₁=2，求证：AF⊥C₁E；
（2）若AA₁=4，求二面角A-C₁F-E的大小．

Answer 1

分析 （1）如图所示，建立空间直角坐标系．A（0，0，0），B（2，0，0），B₁（2，0，2），F（2，0，1），C（0，2，0），E（1，1，0），C₁（0，2，2）．只要证明$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{{C}_{1}E}$=0即可．
（2）AA₁=4，可得B₁（2，0，4），F（2，0，2），C₁（0，2，4）．利用线面垂直的性质可得：平面AC₁F的法向量为$\overrightarrow{m}$，平面$\overrightarrow{{C}_{1}EF}$的法向量$\overrightarrow{n}$．利用向量夹角公式可得$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$，即可得出．

解答 （1）证明：如图所示，建立空间直角坐标系．
A（0，0，0），B（2，0，0），B₁（2，0，2），F（2，0，1），C（0，2，0），E（1，1，0），C₁（0，2，2）．
∴$\overrightarrow{AF}$=（2，0，1），$\overrightarrow{{C}_{1}E}$=（1，-1，-2），
∵$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{{C}_{1}E}$=2+0-2=0，
∴$\overrightarrow{AF}⊥\overrightarrow{{C}_{1}E}$，
∴AF⊥C₁E．
（2）解：∵AA₁=4，
∴B₁（2，0，4），F（2，0，2），C₁（0，2，4）．
∴$\overrightarrow{AF}$=（2，0，2），$\overrightarrow{{C}_{1}F}$=（2，-2，-2），$\overrightarrow{EF}$=（1，-1，2），
设平面AC₁F的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AF}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{C}_{1}F}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x-2z=0}\\{2x-2y-2z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{m}$=（1，0，1）．
同理可得平面$\overrightarrow{{C}_{1}EF}$的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，1，0）．
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$．
∴$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{π}{3}$．
由图可知：二面角A-C₁F-E的平面角为钝角．
∴二面角A-C₁F-E的大小为$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查了空间线面位置关系、空间角、数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．