Question

12．已知函数f（x）=log_ax（a＞0，且a≠1），如果对于任意的x∈[$\frac{1}{3}$，4]，都有-1≤f（x）≤1成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由已知中对于任意的x∈[$\frac{1}{3}$，4]，都有-1≤f（x）≤1成立，分0＜a＜1和a≥1两种情况讨论满足条件的a值，最后综合讨论结果，可得答案．

解答 解：∵对于任意的x∈[$\frac{1}{3}$，4]，都有-1≤f（x）≤1成立，
∴-1≤log_a$\frac{1}{3}$≤1，且-1≤log_a4≤1，
即${log}_{a}\frac{1}{a}$≤log_a$\frac{1}{3}$≤log_aa，且${log}_{a}\frac{1}{a}$≤log_a4≤log_aa，
若0＜a＜1，则$\frac{1}{a}$≥$\frac{1}{3}$≥a，且$\frac{1}{a}$≥4≥a，解得：0＜a≤$\frac{1}{4}$，
若a≥1，则$\frac{1}{a}$≤$\frac{1}{3}$≤a，且$\frac{1}{a}$≤4≤a，解得：a≥4，
综上所述，0＜a≤$\frac{1}{4}$，或a≥4．

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，分类讨论思想，难度中档．