Question

k²，m（m∈N），3，5的平均数为3，平面上的直线l过点（0，1），其斜率为等可能取k的值，用X表示坐标原点到l距离的平方，则随机变量X的数学期望E（X）等于（　　）

• A、

  103

  270

• B、

  107

  270

• C、

  111

  270

• D、

  119

  270

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：由已知得k²可能的取值为0，1，2，3，4，原点到l的距离为d₁=1，d₂=

2

2

，d₃=

3

3

，d₄=

1

2

，d₅=

5

5

．由此能求出随机变量X的数学期望E（X）．

解答： 解：

.

x

=

k2+m+3+5

4

=3，∴k²+m=4，
又∵m∈N，∴k²可能的取值为0，1，2，3，4，
从而k可能的取值为0，±1，±

2

，±

3

，±2．
当k=0时，直线方程为y=1，原点到l的距离d₁=1，
当k=±1时，直线方程为±x-y+1=0，原点到l的距离d₂=

2

2

，
同理，当k=±

2

，±

3

，±2时，
原点到l的距离分别为d₃=

3

3

，d₄=

1

2

，d₅=

5

5

．
由等可能事件的概率可得分布列：

X	1 4	1 5	1 3	1 2	1
P	2 9	2 9	2 9	2 9	1 9

∴E（X）=

1

4

×

2

9

+

1

5

×

2

9

+

1

3

×

2

9

+

1

2

×

2

9

+1×

1

9

=

107

270

．
故选：B．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．