Question

已知函数f(x)＝ax＋x2，g(x)＝xln a，a>1.

(1)求证：函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上单调递增；

(2)若函数y＝－3有四个零点，求b的取值范围；

(3)若对于任意的x1，x2∈[－1,1]时，都有|F(x2)－F(x1)|≤e2－2恒成立，求a的取值范围．

 

Answer 1

（1）见解析（2）(2－，0)∪(2＋，＋∞)（3）(1，e2]

【解析】(1)∵F(x)＝f(x)－g(x)＝ax＋x2－xln a，

∴F′(x)＝ax·ln a＋2x－ln a＝(ax－1)ln a＋2x.

∵a>1，x>0，∴ax－1>0，ln a>0,2x>0，

∴当x∈(0，＋∞)时，F′(x)>0，即函数F(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．

(2)由(1)知当x∈(－∞，0)时，F′(x)<0，

∴F(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．

∴F(x)的最小值为F(0)＝1.由－3＝0，

得F(x)＝b－＋3或F(x)＝b－－3，

∴要使函数y＝－3有四个零点，只需

即b－>4，即 >0，

解得b>2＋或2－ <b<0.

故b的取值范围是(2－，0)∪(2＋，＋∞)．

(3)∵?x1，x2∈[－1,1]，由(1)知F(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，

∴F(x)min＝F(0)＝1.

从而再来比较F(－1)与F(1)的大小即可．

F(－1)＝＋1＋ln a，F(1)＝a＋1－ln a，

∴F(1)－F(－1)＝a－－2ln a.

令H(x)＝x－－2ln x(x>0)，

则H′(x)＝1＋－＝＝ >0，

∴H(x)在(0，＋∞)上单调递增．

∵a>1，∴H(a)>H(1)＝0.∴F(1)>F(－1)．

∴|F(x2)－F(x1)|的最大值为|F(1)－F(0)|＝a－ln a，

∴要使|F(x2)－F(x1)|≤e2－2恒成立，只需a－ln a≤e2－2即可．令h(a)＝a－ln a(a>1)，h′(a)＝1－ >0，∴h(a)在(1，＋∞)上单调递增．∵h(e2)＝e2－2，∴只需h(a)≤h(e2)，即1<a≤e2.故a的取值范围是(1，e2]