Question

已知函数f（x）=（x+5）（x+2），g（x）=x+1．
（1）若x＞-1，求函数的最小值；
（2）若不等式f（x）＞ag（x）在x∈[-2，2]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1），设x+1=t，由x＞-1，知t＞0，由此利用均值定理能求出y的最小值．
（2）f（x）＞ag（x），即x²+（7-a）x+10-a＞0，设h（x）=x²+（7-a）x+10-a，则不等式f（x）＞ag（x）在x∈[-2，2]上恒成立等价于h（x）在x∈[-2，2]上恒大于0．由此能求出a的取值范围．
解答：解：（1）∵f（x）=（x+5）（x+2），g（x）=x+1，
∴，
设x+1=t，∵x＞-1，∴t＞0
原式化为
当且仅当，即t=2时取等号，
∴当x=1时y取最小值9． …（6分）
（2）f（x）＞ag（x），即x²+（7-a）x+10-a＞0，
设h（x）=x²+（7-a）x+10-a，
则不等式f（x）＞ag（x）在x∈[-2，2]上恒成立等价于h（x）在x∈[-2，2]上恒大于0．
等价于或或
解得0＜a＜9，
故a的取值范围为（0，9）．…（12分）
点评：本题考查函数的最小值的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意均值定理、分类讨论思想、等价转化思想的合理运用．