Question

【题目】已知函数 为奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并根据函数单调性的定义证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）是奇函数，且f（x）的定义域为R；

∴ ；

∴a=﹣1；

（2）f（x）= ；

函数f（x）在定义域R上单调递增．

理由：设x1＜x2，则：

；

∵x1＜x2；

∴ ；

∴ ；

∴f（x1）＜f（x2）；

∴函数f（x）在定义域R上单调递增．

【解析】（1）f（x）的定义域为R，且f（x）为奇函数，所以一定有f（0）=0，代入可得a=-1，（2）根据函数单调性的定义进行判断，设x1＜x2，对f(x1)，f(x2)进行作差即可得出函数f（x）在定义域R上单调递增．
【考点精析】关于本题考查的奇偶性与单调性的综合，需要了解奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性才能得出正确答案．