Question

【题目】已知圆O：x2+y2=4与x轴负半轴的交点为A，点P在直线l： x+y﹣a=0上，过点P作圆O的切线，切点为T
（1）若a=8，切点T（ ，﹣1），求点P的坐标；
（2）若PA=2PT，求实数a的取值范围；
（3）若不过原点O的直线与圆O交于B，C两点，且满足直线OB，BC，OC的斜率依次成等比数列，求直线l的斜率．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，直线PT切于点T，则OT⊥PT，

又切点T（ ，﹣1），所以kOT=﹣ ，∴kPT= ，

故直线PT的方程为y+1= （x﹣ ），即 ．

联立直线l和PT， 解得 即P（2 ）

（2）解：设P（x，y），由PA=2PT，可得（x+2）2+y2=4（x2+y2﹣4），

即3x2+3y2﹣4x﹣20=0，即满足PA=2PT的点P的轨迹是一个圆（x﹣ ）2+y2= ，

所以问题可转化为直线 与圆（x﹣ ）2+y2= ，有公共点，

所以d= ，解得

（3）解：当直线BC垂直与x轴时，显然不成立，所以设直线BC为y=kx+b（b≠0），

将它与圆方程联立并消去y得（k2+1）x2+2kbx+b2﹣4=0，

设B（x1，y1），C（x2，y2），

则x1x2= ，x1+x2= ，因为则y1y2= ，

故kOBkOC= = =k2，

即b2（k2﹣1）=0，因为b≠0，所以k2=1，即k=±1

【解析】（1）直线PT切于点T，则OT⊥PT，求出kOT ， kPT ， 直线l和PT，求出P的坐标．（2）设P（x，y），由PA=2PT，求出点P的轨迹方程，问题可转化为直线 与圆（x﹣ ）2+y2= ，有公共点，列出不等式求解即可．（3）当直线BC垂直与x轴时，显然不成立，设直线BC为y=kx+b（b≠0），将它与圆方程联立，设B（x1 ， y1），C（x2 ， y2），利用kOBkOC= = =k2 ， 求解即可．