精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知向量a=(-cosx,2sin
x
2
),b=(cosx,2cos
x
2
),f(x)=2-sin2x-
1
4
|a-b|2

(1)将函数f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
,纵坐标不变,继而将所得图象上的各点向右平移
π
6
个单位,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)的单调递增区间;
(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(C)=2f(A),a=
5
,b=3,求c及cos(2A+
π
4
)
的值.
(1)∵
a
=(-cosx,2sinx)
b
=(2cosx,
3
cosx)

a
-
b
=(-3cosx,2sinx-
3
cosx)

∴f(x)=2-sin2x-
1
4
[4cos2x+4(sin
x
2
-cos
x
2
)2]

=2-sin2x-cos2x-1+sinx=sinx(2分)
由题意,g(x)=sin2(x-
π
6
)
=sin(2x-
π
3
)
(4分)
2kπ-
π
2
≤2x-
π
3
≤2kπ+
π
2
,k∈Z
解得,kπ-
π
12
≤x≤kπ+
12
,k∈Z
∴g(x)的单调递增区间[kπ-
π
12
,kπ+
12
]
,k∈Z
(2)由f(x)=sinx及f(C)=2f(A)可得sinC=2sinA
由正弦定理可得,c=2a=2
5
(7分)
由余弦定理可得,cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
9+(2
5
)
2
-(
5
)
2
2×3×2
5
=
2
5
5
(8分)
于是cos2A=2cos2A-1=
4
5
-1=
3
5
(9分)
由a<c知A<C,从而0<A<
π
2
,0<2A<π,所以sin2A>0
所以sin2A=
1-cos22A
=
4
5
(10分)
所以cos(2A+
π
4
)=cos2Acos
π
4
-sin2Asin
π
4

=
2
2
×(
3
5
-
4
5
)
=-
2
10
(12分)
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

下列说法中,正确的个数为(  )
(1)
AB
+
MB
+
BC
+
OM
+
CO
=
AB

(2)已知向量
a
=(6,2)与
b
=(-3,k)的夹角是钝角,则k的取值范围是k<0
(3)若向量
e1
=(2,-3),
e2
=(
1
2
,-
3
4
)
能作为平面内所有向量的一组基底
(4)若
a
b
,则
a
b
上的投影为|
a
|

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(1)已知矩阵A=
a2
1b
有一个属于特征值1的特征向量
α
=
2
-1

①求矩阵A;
②已知矩阵B=
1-1
01
,点O(0,0),M(2,-1),N(0,2),求△OMN在矩阵AB的对应变换作用下所得到的△O'M'N'的面积.
(2)已知在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为
x=t-3
y=
3
 t
(t为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρco sθ+3=0.
①求直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程;
②设点P是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的取值范围.
(3)已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.
①求不等式f(x)≥3的解集;
②若关于x的不等式f(x)≥a2-a在R上恒成立,求实数a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知下列各式:
AB
+
BC
+
CA
;            
AB
+
MB
+
BO
+
OM

AB
-
AC
+
BD
-
CD

OA
+
OC
+
BO
+
CO

其中结果为零向量的个数为(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量
m
=(2a-c,b)与向量
n
=(cosB,-cosC)互相垂直.
(1)求角B的大小;
(2)求函数y=2sin2C+cos(B-2C)的值域;
(3)若AB边上的中线CO=2,动点P满足
AP
=sin2θ•
AO
+cos2θ•
AC
(θ∈R)
,求(
PA
+
PB
)•
PC
的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

下列说法中,正确的个数为(  )
(1)
AB
+
MB
+
BC
+
OM
+
CO
=
AB

(2)已知向量
a
=(6,2)与
b
=(-3,k)的夹角是钝角,则k的取值范围是k<0
(3)若向量
e1
=(2,-3),
e2
=(
1
2
,-
3
4
)
能作为平面内所有向量的一组基底
(4)若
a
b
,则
a
b
上的投影为|
a
|
A.1个B.2个C.3个D.4个

查看答案和解析>>

同步练习册答案