Question

直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρ=4cosθ
（1）若点A（1，

π

2

），点P是曲线C上任一点，求

AP

2的取值范围；
（2）若直线l的参数方程是

x=t+m y=t

，（t为参数），且直线l与曲线C有两个交点M、N，且

CM

•

CN

=0，求m的值．

Answer 1

分析：（1）点A化成直角坐标为（0，1），曲线C的极坐标方程化成直角方程，可得当直线AP过圆心C（2，0）时，

AP

2最大（或最小）．再根据|AC|=

5

，可得

5

-2≤|

AP

|≤

5

+2，从而求得

AP

2的取值范围．
（2）把直线l的参数方程化成普通方程为x-y-m=0，又直线l与曲线C有两个交点M、N，且

CM

•

CN

=0，可得圆心C（2，0）到直线l的距离为

2

，由此求得m的值．

解答：解：（1）点A（1，

π

2

）化成直角坐标为（0，1），曲线C：p=4cosθ化成直角方程为（x-2）²+y²=4．（2分）
当直线AP过圆心C（2，0）时，

AP

2最大（或最小）．
再根据|AC|=

5

，可得

5

-2≤|

AP

|≤

5

+2，
∴

AP

2的取值范围为[9-4

5

，9+4

5

]．（6分）
（2）把直线l的参数方程化成普通方程为x-y-m=0，又直线l与曲线C有两个交点M、N，且

CM

•

CN

=0，
则：圆心C（2，0）到直线l的距离为

2

；
即：

|2-m|

2

=

2

，
∴m=0或4．（12分）

点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．