Question

17．已知F₁，F₂分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在双曲线上且不与顶点重合，过F₂作∠F₁PF₂的角平分线的垂线，垂足为A．若|OA|=b，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}+1$

Answer 1

分析 由题设条件推导出PQ=PF₂，由双曲线性质推导出PF₁-PQ=QF₁=2a，由中位线定理推导出QF₁=2a=2OA=2，由此及彼能求出双曲线的离心率．

解答 解：∵F₁，F₂是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，
延长F₂A交PF₁于Q，
∵PA是∠F₁PF₂的角平分线，∴PQ=PF₂，
∵P在双曲线上，∴PF₁-PF₂=2a，
∴PF₁-PQ=QF₁=2b，
∵O是F₁F₂中点，A是F₂Q中点，
∴OA是F₂F₁Q的中位线，∴QF₁=2a=2OA=2，
∴a=1，c=$\sqrt{2}$，
∴双曲线的离心率e=$\sqrt{2}$．
故选C．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的性质．