Question

已知关于x的方程x²+3x-m=0的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x的方程（k-3）x²+kmx-m²+6m-4=0有实数根．

Answer 1

分析：由题意设方程两根为x₁，x₂，得x₁+x₂=-3，x₁•x₂=-m，然后再根据两实根的平方和等于11，从而解出m值，代入后面关于x的方程，根据判别式得到结论．

解答：解：设方程两根为x₁，x₂，得x₁+x₂=-3，x₁•x₂=-m，
∵两个实数根的平方和等于11，
∴x₁²+x₂²=（-3）²-2（-m）=11
∴m=1
∴方程（k-3）x²+kmx-m²+6m-4=0为方程（k-3）x²+kx-1+6-4=0．
即（k-3）x²+kx+1=0．
当k=3时，方程为3x+1=0，有实根；
当k≠3时，△=k²-4k+12=（k-2）²+8＞0也有实根．
综上可知关于x的方程（k-3）x²+kmx-m²+6m-4=0有实数根．

点评：此题应用一元二次方程根与系数的关系解题，利用两根的和与两根的积表示两根的平方和，把求未知系数的问题转化为解方程的问题，本题解题的关键是对于二次项系数的讨论不要忽略．